Свойства функции распределения случайной величины X

4. Числовые характеристики дискретных случайных величин

1). Математическое ожидание и его свойства

Вероятностный смысл математического ожидания:

Свойства математического ожидания

2). Дисперсия и ее свойства

Свойства дисперсии:

3). Среднее квадратическое отклонение

Пример. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X,

Замечание. Математическое ожидание и дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях

Дискретные случайные величины Рассмотрим случайную величину * , возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел x1, x2, ..., xn, ... . Пусть задана функция p(x), значение которой в каждой точке x=xi (i=1,2, ...) равно вероятности того, что величина примет значение xi

Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то Такая случайная величина называется дискретной (прерывной). Функция р(х) называется законом распределения вероятностей случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности x1, x2, ..., xn, ... . Так как в каждом из испытаний случайная величина принимает всегда какое-либо значение из области ее изменения, то

Пример 1. Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения - числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения? (Решение) Пример 1. Случайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости. Возможные значения - числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. При этом вероятность того, что примет любое из этих значений, одна и та же и равна 1/6. Какой будет закон распределения? (Решение) Пример 2. Пусть случайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p. Множество возможных значений состоит из 2-х чисел 0 и 1: =0, если событие A не произошло, и =1, если событие A произошло. Таким образом,

Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m-й член разложения бинома. Закон распределения вероятностей по формуле Бернулли часто называют биномиальным, так как Pn(m) представляет собой m-й член разложения бинома. Пусть случайная величина может принимать любое целое неотрицательное значение, причем

Пример 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных? (Решение) Пример 3. На завод прибыла партия деталей в количестве 1000 шт. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,001. Какова вероятность того, что среди прибывших деталей будет 5 бракованных? (Решение) Распределение Пуассона часто встречается и в других задачах. Так, например, если телефонистка в среднем за один час получает N вызовов, то, как можно показать, вероятность Р(k) того, что в течение одной минуты она получит k вызовов, выражается формулой Пуассона, если положить

Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2, ..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой Если возможные значения случайной величины образуют конечную последовательность x1, x2, ..., xn, то закон распределения вероятностей случайной величины задают в виде следующей таблицы, в которой

По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины По горизонтальной оси будем откладывать возможные значения случайной величины, а по вертикальной оси - значения функции. График функции р(х) изображен на рис. 2. Если соединить точки этого графика прямолинейными отрезками, то получится фигура, которая называется многоугольником распределения.

Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3. Вероятности p(xi) вычислены по формуле Бернулли при n=10. Для x>6 они практически равны нулю. График функции p(x) изображен на рис. 3.

Работа может использоваться для проведения уроков и докладов по предмету "Математика"

Готовые презентации по математике используют в качестве наглядных пособий, которые позволяют учителю или родителю продемонстрировать изучаемую тему из учебника с помощью слайдов и таблиц, показать примеры по решению задач и уравнений, а также проверить знания. В данном разделе сайта можно найти и скачать множество готовых презентаций по математике для учащихся 1,2,3,4,5,6 класса, а также презентации по высшей математике для студентов ВУЗов.

«Основы математической статистики» - Числовое значение величины – кол-во успехов в серии испытаний. Некоторые определения. Основы теории проверки статистических гипотез. Ошибки при проверке статистических гипотез. В серии из n испытаний должно одновременно произойти k успехов и n-k - «неуспехов». Какова вероятность из выбранной наугад корзины выбрать белый шар?

«Основные статистические характеристики» - Медиана. Мода ряда. Размах ряда. Размах. Медиана ряда. Среднее арифметическое ряда чисел. Петроний. Найдите среднее арифметическое. Школьные тетради. Основные статистические характеристики. Статистика.

«Статистическое исследование» - Впервые термин «статистика» мы находим в художественной литературе. Относительная частота события. Размах – это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных. Статистика - это прежде всего способ мышления. Гипотеза. Основные статистические характеристики. Нужна ли тебе помощь при выполнении домашнего задания по математике.

«Теория вероятности и статистика» - Теорема Чебышева. Случайная величина. Проверка гипотезы о числовом значении вероятности. Поток событий. Многомерная случайная величина. Относительная частота. Зависимые случайные величины. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента. Статистический смысл математического ожидания. Случайный эксперимент.

«Элементы математической статистики» - Детали изготавливаются на разных станках. Доверительный интервал для неизвестной дисперсии. Статистические оценки. Интервальные оценки. Способы отбора. Генеральная совокупность. Корреляционный момент. Проверка статистических гипотез. Расчет доверительных интервалов при неизвестной дисперсии. Сравнение двух дисперсий.

«Вероятность и математическая статистика» - Описательная статистика. Белые и красные розы. Урезанное среднее. Оцените возможность наступления событий. Диаграммы рассеивания. Изображения диаграмм. Рассмотрим события. Шифр для сейфа. Плюшка. Точность полученных значений. Комбинаторные задачи. В алфавите племени Уауа имеются только две буквы. Отметки по математике.

Всего в теме 17 презентаций

2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ряд распределения. Многоугольник распределения Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

3 Рассмотрим прерывную случайную величину X с возможными значениями x 1, х 2, …, х n. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина X может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина X примет одно из этих значений, т. е. произойдет одно из полной группы несовместных событий. Обозначим вероятности этих событий буквами р с соответствующими индексами: Р(Х=х 1)=р 1 ; Р(Х=х 2) = р 2 ;...; Р(Х = х n) = р n. Так как несовместные события образуют полную группу, то сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице

4 Ряд распределения случайной величины X имеет следующий вид xixi x1x1 x2x2 …xnxn pipi p1p1 p2p2 …pnpn графическому изображению Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откла­дываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат вероятности этих значений. Такая фигура называется многоугольником распределения.

7 Функция распределения F(x) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F " title="8 Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х 2 > х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F " class="link_thumb"> 8 8 Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х 2 > х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F (-) = 0. 3.На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F (+) = 1. х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F "> х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F (-) = 0. 3.На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F (+) = 1."> х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F " title="8 Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х 2 > х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F "> title="8 Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. 1.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х 2 > х 1 F(х 2) F(x 1). F(х 2) F(x 1). 2.На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F ">

10 Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину X как случайную точку X на оси Ох, которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда функция распределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка X в результате опыта попадет левее точки х.

11 Плотность распределения Функция f(x) – произвольная функция распределения характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятностей») непрерывной случайной величины. характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятностей») непрерывной случайной величины. Иногда функцию f(x) называют также «дифференциальной функцией распределения» или «дифференциальным законом распределения» величины Х.

14 Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения f(х) и элементарный участок dх, примыкающий к точке х. Вероятность попадания случайной величины X на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна f(х)dх. Величина f(х)dх называется элементом вероятности. Геометрически это есть пло­ щадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dх.

15

16 Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от α до β через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т. е. интегралу: Геометрически вероятность попадания величины X на участок (α, β) равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок.

17 Основные свойства плотности распределения. Плотность распределения есть неотрицательная функция: Плотность распределения есть неотрицательная функция: Это свойство непосредственно вытекает из того, что функция распределения F(x) есть неубывающая функция. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

19 Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений., где, где Х – прерывная случайная величина, М[X] – среднее значение случайной величины, – возможные значения величины Х, – возможные значения величины Х, – вероятности значений. – вероятности значений.

21 Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс. Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

24 Центральным моментом порядка s случайной величины Х называется математическое ожидание s-ой степени соответствующей центрированной случайной величине: Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю: т. к. математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.

25 Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание) и второй центральный момент. Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины (D[X]). Согласно определению центрального момента: т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

29 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

30 Кривая распределения, по нормальному закону имеет симметричный колоколообразный вид. Максимальная ордината кривой, равная соответствует точ­ке х = т; по мере удаления от точки m плотность распределения падает, и при x ± кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.

33 РЕЛЕЕВСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Распределение модуля вектора на плоскости, координаты которого являются независимыми случайными величинами, что имеют нормальный закон распределения с нулевым средним и единичной дисперсией, описываются распределение Релея. Распределение Релея реализуют когда погрешности измерения по координатам x и y независимы и нормально распределены с одинаковыми дисперсиями.